Studiował skrzypce w Państwowym Konserwatorium im. Komitasa w Erywaniu, a następnie dyrygenturę pod kierunkiem ormiańskiego dyrygenta O. Duriana. Jego umiejętności dyrygenckie konsultowali również sir G. Solti, C. Abbado i N. Santi.
Eduard Topchjan rozpoczął działalność dyrygencką  w  1991  r.,  kiedy  to  wraz  z  grupą  przyjaciół  z  konserwatorium  założył  Serenade  Chamber Orchestra,  znaną  później  pod  nazwą  Armenian Chamber Players. W 2002 r. Eduard Topchjan zadebiutował z Armenian Philharmonic Orchestra podczas Bad Füssinger Kulturfestival w Niemczech.  W tym samym roku został mianowany dyrektorem artystycznym  i  głównym  dyrygentem  Armenian Philharmonic Orchestra w Erywaniu. Ponadto był dyrektorem artystycznym kilku festiwali. Od 2007 r. Jest głównym dyrygentem Yerevan International Music Festival, który co roku gości wielu renomowanych muzyków.